キリングベクトル（Killing vector）は、リーマン幾何学において重要な概念であり、時空の対称性を表現するベクトル場です。キリングベクトルは、物理学や数学の分野で広く使用されています。
キリングベクトルは、時空の対称性に関連しています。対称性とは、ある変換操作を系に施しても物理的な法則や幾何的な性質が変わらないことを指します。例えば、空間の平行移動や回転は対称性の例です。キリングベクトルは、時空の対称性を表現するベクトル場であり、そのベクトル場に沿って移動しても、時空の物理的な法則や幾何的な性質が変わらないことを示します。
キリングベクトルは、リーマン幾何学の対称性や保存則を研究する際に役立ちます。特に、アインシュタインの一般相対性理論においては、キリングベクトルは重要な役割を果たします。一般相対性理論では、時空の計量（メトリック）に対してアインシュタイン方程式が成り立ちますが、キリングベクトルはそのアインシュタイン方程式の解を見つける際に活用されます。キリングベクトルが存在する場合、それによって時空の対称性や保存則が導かれることがあります。
具体的な例としては、平坦な時空（マインダリン空間）では、移動や回転に対するキリングベクトルが存在します。また、静的なブラックホールの場合には時間に対するキリングベクトルが存在し、エネルギー保存則を表現します。
キリングベクトルは、物理学の理論や宇宙論、幾何学の研究など、広範な分野で重要な役割を果たしています。時空の対称性や保存則を解析する際には、キリングベクトルの存在や性質を考慮することが必要です。また、キリングベクトルの研究は、宇宙の進化やブラックホールの性質など、重要な物理現象の理解にも貢献しています。
